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[猎奇]文物中的数学:原来数学也可以这么美 [29P] [复制链接]

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文博时空/文 文博时空 作者 徐之南
文物摄影|杜广磊
当我们想到文物,往往会联想到历史、文化和艺术,很少有人会将数学与文物联系起来。然而,在世界各地的博物馆和考古遗址中,隐藏着无数展现着数学之美的宝藏。
为了形成完美曲尺古人何以设计84度交角?古代农民如何测量土地面积和计算粮食产量?初中课本中的勾股定理从何而来?中国第一艘钢甲巡洋舰“平远号”的大功臣竟是拥有49个计数单位的“子玉算盘”?
从精美神秘的几何图案到不断精确的测量手段,从日新月异的科学技术到纷繁复杂的商业贸易,数学在文物中扮演着不可忽视的角色。我们将从“艺术与几何”“生活与测量”“科学与技术”“商业与货币”四个方面,探索文物中的数学之美。
01.艺术与几何
1. 彩陶盆


新石器时代 彩陶盆 中国考古博物馆藏
此盆为宽口折沿,敞口鼓腹,下腹往下陡收,底部为平底。彩陶盆下半部素面,唇口以下到腰部都以黑彩作画装饰,包括三角纹、圆点纹以及弧线三角纹,构成了构图复杂,变幻莫测的纹饰带。器表整体纹饰线条优美,各种图案以一定的规律进行组合,充满十足的创造性、流动性以及律动感。
此盆为庙底沟类型典型器物,庙底沟类型以各种精美的彩陶花纹著称。纹饰多点纹、弧线三角纹,对于线条的运用十分得心应手,三角纹与圆点纹的组合使用,与留白陶地形成多种多样复杂的图案,有研究认为这些图案是鸟纹的抽象化使用,是对写实装饰时期的纹饰进行动态变化之后形成的。花鸟共生纹成为庙底沟类型彩陶的鲜明特点。
更为重要的是,彩陶纹样多展现了一种周而复始的美,揭示出循环往复的规律,展开看非常漂亮。


内蒙古敖汉旗大甸子墓地出土彩绘陶尊纹饰展开示意图
2. 双人抬物纹彩陶盆




新石器时代 双人抬物纹彩陶盆 青海省博物馆藏
此陶盆为泥质红陶,内外均饰黑彩。外侧通过简单的平行带纹和单钩纹装饰,内侧绘制四组双人抬物纹。双人抬物即两人相向而立,共同抬起一个圆形的物品,因物品较重,所以两人都背部弯曲。四组纹饰之间以多条横竖条纹分割,下面以平行纹装饰。口沿处则饰以三角纹和斜线条纹。
此器外表打磨光滑,内容十分丰富,尤其是盆内的四组双人抬物纹,虽然只由简单的线条和圆形组成,却精巧的掌握了人身体的比例与弯腰抬物时的体态特征。通过线条的弯曲弧度,形象生动地勾画了远古先民的形象。关于双人抬物图像的真实含义,有学者认为是在共同劳作,搬运东西,也有学者认为反映的是更为重要的“多人共同祭祀”的场景。
3. 彩陶旋涡菱形几何纹双系壶


新石器时代 彩陶旋涡菱形几何纹双系壶 故宫博物院藏
马家窑文化半山类型陶壶。器表以红、黑两种色彩描绘纹饰,口沿内侧以黑彩绘弧形纹;颈部以黑彩绘连弧纹;肩、腹部以红、黑两彩绘四组漩涡纹,漩涡纹里面又绘制了菱形几何纹;肩部粗弦线及漩涡连线,边缘饰细密的锯齿纹。
漩涡纹起源较早,马家窑文化时期的先民将其发展到了另一个变幻莫测,独具风采的阶段。一般认为它起源于自然界的水涡,常用多个旋涡组成整体纹样,连接起来宛若河流一样流畅生动,富有动感,引人注目,令人深思。
4. 复道三角纹圜底彩陶罐


夏朝 复道三角纹圜底彩陶罐 甘肃省博物馆藏
齐家文化时期彩陶罐,材质为夹砂橙黄陶,罐为侈口双耳,通体施彩作装饰。自上而下,自内而外均有纹饰,先是在口沿内外各绘制了一圈倒三角网纹,双耳处绘制的是折带纹。整个罐身最大面积的装饰便是其腹部的三角纹饰的组合,自颈部至底部,以紫红彩两面分层绘复道三角纹,各层之间用平行线分隔,腹两侧绘菱形网纹。
此罐通体图案皆由平行线组成,通过倾斜程度不同的多条平行线的组合,最终形成的是正倒相向的复道三角纹,是齐家文化的一种常见纹饰,齐家文化是甘肃地区在迈入青铜时代所形成的文化类型。这种纹饰虽繁缛但不杂乱,复杂中亦有简练的纹路,似树木的纹样,装饰感十足,也有研究根据其他遗址中出土的复道三角纹的草编器推测,这种纹饰的灵感便是草编器。
5. 垂幛纹双耳铜方彝


西周 垂幛纹双耳铜方彝 沂源博物馆藏
器身为子口,口部微收,方唇;腹部偏方,中下部略外鼓,肩部两侧各置一半环形耳,平底,长方形圈足,微外撇。器身四角均有两矮扉棱。颈部四面各有变体夔龙纹一对。腹部四壁中心均饰半月形垂幛纹,其间填以弧状凸棱纹,两侧饰叶脉状几何纹,圈足四面饰“之”字形几何纹。盖为母口,盝顶,顶上为圆形捉纽。盖四角各有一矮扉棱,盖的四面及顶部均饰有半月形垂幛纹。纹样繁饰精美,此类铜方彝在西周青铜器中并不多见。
6. 错金银几何云纹铜壶


战国 错金银几何云纹铜壶 中国国家博物馆藏
这是一件精心设计的盛酒器,它将金银两种金属的色差巧妙地运用在装饰上,将复杂的构图与色调的平衡完美融合,展现了战国时期青铜工艺的高超水平。其表面装饰着金银错几何云纹,这种纹饰不同于传统的青铜器云纹,它在保持几何图案严谨规则的同时,还追求着变化与多样性。这种独特的设计风格赋予了器物节奏感和律动美,使之看起来更加清新活泼。这种几何图案的创新,是战国秦汉时期金银错工艺的一大艺术成就。
7. 错金银铜虎噬鹿屏座


战国 错金银铜虎噬鹿屏座 河北博物院藏
该器是战国中山国最鼎盛时期的国王墓葬中出土的一件稀世珍宝,从气势上可见当时中山国的强盛。这件器座的主体是一只凶猛的老虎,它双目炯炯有神,两耳竖直,正在吞食一只柔弱的小鹿。小鹿在虎口中奋力挣扎,短尾上翘,但始终无法挣脱,显得异常凄然。老虎的后肢用力蹬地,前躯下踞,整个身体呈现出优雅的弧形。它的右前爪因抓住小鹿而悬空,而整个器座的平衡则巧妙地借助了鹿腿来支撑。整个器物的构思既巧妙又自然,展现了极高的艺术水准。
老虎和小鹿的皮毛斑纹都是用金银精心镶错而成,使得它们的形象生动逼真,仿佛就在眼前。在老虎的项部和臀部,各有一个长方形銎,銎的两侧装饰着山羊的头面,山羊的嘴巴正好与銎口相吻合。这两个銎口的直线相交,形成了84度的交角,接近直角,如果安上屏扇,就会形成一个完美的曲尺形


小帐及屏风复原示意图
8. 七牛虎耳青铜贮贝器




西汉 七牛虎耳青铜贮贝器 中国国家博物馆藏
贮贝器是一种滇国特有的青铜器,主要用来盛装货币——贝壳。这是一件造型独特的虎耳束腰筒形贮贝器,它的器盖直径与器身底径大致相等,设计精巧,使得器盖与器身能够紧密扣合,无一丝缝隙。器盖上,一个精致的小铜鼓作为盖钮,其上站立着一头雄壮的牛,另外六头牛则环绕在器盖边缘,首尾相接,从上方俯瞰,六头牛的牛身形成了一个完美的六边形。铜鼓之上的那头牛将这个六边形巧妙地划分为两个等腰梯形,这样的设计充满了几何的美感。器身的三只兽爪型矮足,更加增添了其稳重之感。
器身最细的腰线两侧,各焊铸了一只猛虎,作为器耳。这两只猛虎均朝上,张开了虎口,仿佛在咆哮。其中一只虎的尾巴向下伸展,轻轻贴靠在器身靠下的器壁上,而另一只虎的尾巴则向身体内卷缩,尾尖轻触器身中部略下的器壁。虎耳的流线型设计与束腰筒形器身的简约风格形成了互补,更显和谐。
02.生活与测量
9. 商鞅方升


战国 商鞅方升 上海博物馆藏
战国时期,各国度量衡的标准不一,给工商业发展带来很大不便。商鞅变法前,秦国各地度量衡不统一。为了保证国家的赋税收入,商鞅制造了标准的度量衡器,要求全国统一施行。
“爰积十六尊(寸)五分尊(寸)之一为升”。从“商鞅量”中得知,商鞅规定的1标准尺约合今0.23公尺,1标准升约合今0.2公升。由量器及其铭文可知,当时统一度量衡一事是十分严肃认真的。商鞅还统一了斗、桶、权、衡、丈、尺等度量衡。要求秦国人必须严格执行,不得违犯。
10. 玉大带




五代 玉大带 四川博物院藏
玉大带出土于四川省成都市西郊王建墓,王建是五代时前蜀国的开国皇帝。王建墓是中国首次科学考古发掘的古代帝王陵墓,同时也是迄今为止发掘的历史年代最早的古代帝王陵墓,规模宏大,保存完整,堪称中国古代建筑史上的一大杰作。
其墓出土的玉大带是我国迄今发现的唯一一件皇帝用过的腰带,是兼具历史价值和艺术价值的国宝级文物。此带由七方銙(kuǎ)、一方䤩(chá)尾、两节革带(后配)和一对银扣组成,䤩尾背面所刻铭文记载了玉大带火中幸存的故事。据说有一次王建的寝宫着火,大火过后,楼体变成一堆瓦砾,珍宝化为灰烬。但是这块玉石却依然崭新如故。王建认为这块玉是吉兆,于是命工匠将玉石制作成一条玉带。
玉带记载了铊尾和玉銙的尺寸,为研究唐五代的度量及带制提供了宝贵的史料佐证。玉板上所刻龙纹身躯蜷曲,颇具动感,龙的神态刻画细致,极具威严,是五代时期玉雕的精品。
11. 日晷


明 日晷 故宫博物院藏
中国古代利用日影测定时刻的计时器,“晷”字,古意是太阳的影子。故宫所设日晷象征皇帝一统授时之意,分设在午门、太和殿、乾清宫、坤定宫、养心殿、慈宁宫、皇极殿、养性殿、颐和轩等处,日晷均为赤道式日晷。用于宫殿前亦有皇权的象征,一般与嘉量并列于左右,象征天地一统,江山永固。
“日晷”是利用地球自转并绕太阳公转的原理制成的。日晷有根铁制的指针,装在晷盘的中心处,指针的上端指向北极,下端指南极。在盘上,以晷针与盘的交点为中心,均匀地划分出二十四条时刻线(线的间隔为15度),则晷盘相当于赤道面,二十四条时刻线相当于一天的二十四小时。晷盘上、下两面都刻有地支的子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥十二个字,每字分为八刻,前四刻为初,后四刻为正,每刻相当于15分钟。如太阳正午时,指针的投影正落在午初和午正分界的刻度上,即正午(中午12点钟)。晷盘上的指针投影,上面的由早到晚是向左转,下面的投影则向右转。每年春分后即春夏两季看晷盘上面字,秋分后即秋冬季看晷盘下面字。
12. 西汉水钟


青铜刻漏


青铜温鼎


青铜镜晷
海昏侯墓中出土了一座世界上最古老的滴水计时工具——水钟。这座庞大的水钟,有计时、报时和校时三个功能,主要部件包括:青铜刻漏、青铜悬壶、青铜提梁尊、青铜镜晷、青铜釜、青铜温鼎、青铜錞于等。其规模之大,构件之多,设计之巧,装饰之美,都是中国古代青铜器中罕见的。
水钟在中国又叫做“刻漏”“漏壶”。根据等时性原理滴水计时有两种方法,一种是利用特殊容器记录把水漏完的时间(泄水型),另一种是底部不开口的容器,记录它用多少时间把水装满(受水型)。中国的水钟,最先是泄水型,后来泄水型与受水型同时并用或两者合一。自公元85年左右,浮子上装有漏箭的受水型漏壶逐渐流行,甚至到处使用。
“刻漏”,俗称滴漏,也称“漏壶”“漏刻”。它的计时精度可以达到一刻甚至半刻。古时一日分为十二个时辰,亦分为100刻,一刻就相当于现在的十四分钟左右。这个刻漏属于泄水型的,即在壶里灌满水后,下面的水嘴开始缓慢向外滴水,而壶内有一把如同尺子一样的漏剑,也叫漏尺,上面有刻度,底下有浮子。随着水的流失,浮子带动漏剑逐渐下沉。人们依据下沉的刻度直观地测出准确的时间。这个刻漏在整个“水钟”里是“校时器”,可以起到校正滴水速度的作用。
03.科学与技术
13. 《授时历》


元 授时历
《授时历》是在至元十八年(1281)开始使用的元朝历法,沿用400多年,是我国古代流行时间最长的一部历法,也是我国古代最卓越的一部历法。在许衡领导下,由郭守敬、王恂等人,在科学观测的基础上,参考历代历法编订的。取《尚书》“敬授民时”之意,订名为《授时历》。
《授时历》是我国古代创制的最精密的历法,用郭守敬自己的话说,《授时历》“考正者七事”“创法者五事”。
考正者七事,一是精确地测定了至公元1280年的冬至时刻。二是给出了回归年长度及岁差常数,即第一年冬至到第二年冬至的时间为365日24刻25分。三是测定了冬至日太阳的位置,认为太阳在冬至点速度最高,在夏至点速度最低。四是测定了月亮在近地点时刻。五是测定了冬至前月亮过升交点的时刻。六是测定了二十八宿距星的度数。七是测定了二十四节气时元大都日出日没时刻及昼夜时间长短。
创法五事,一是求出了太阳在黄赤道上的运行速度。二是求出了月球每日绕地球运行的速度。三是从太阳的黄道经度推算出赤道经度。四是从太阳的黄道经度推算赤道纬度。五是求月道和赤道交点的位置。
《授时历》采用的天文数据是相当精确的。如郭守敬等重新测定的黄赤交角为古度23.9030度,约折合今度23.3334度,与理论推算值的误差仅为1分36秒。
14. 秦简《数》


秦简《数》 湖南大学岳麓书院藏
秦朝官吏,为了进行分配土地和收取租税的工作,必须懂得土地面积的测量和计算方法。秦简《数》作为秦朝官员学习这些数学知识的教材,并不是当时的最高数学成就,这足以说明中国早期数学水平比我们原本想象的要高得多。“利用水作为体积换算、割补术算圆面积、棱锥与棱台的体积计算公式、化除为乘,分次平方运算……”这些数学知识囊括了代数学、几何学、概率论等细分领域。
最先颠覆我们常识的是勾股定理。约成书于公元前1世纪的《周髀算经》,记载西周初年数学家商高在回答周公的问题时说:“故折矩,以为勾广三,股修四,径隅五……故禹之所以治天下者,此数之所生也。”由此出现了勾股定理。回看秦简《数》中有一例算题“圆材薶地”,也呈现了勾股定理,并且比《周髀算经》早一两百年。
15. 《周髀算经》


西汉 《周髀算经》清初影宋抄本版本 辽宁省图书馆藏
《周髀算经》约成书于公元前2世纪,原名《周髀》,唐初规定它为国子监明算科教材之一。其书以数学成果“勾股定理”和古代中国的宇宙构成理论“盖天说”闻名天下。历代多位数学家都曾为此书作注,其中最著名的是唐代数学家李淳风等人所作的注。
《周髀算经》采用最简便可行的方法确定天文历法,揭示日月星辰的运行规律,囊括四季更替,气候变化,包含南北有极,昼夜相推的道理。给后来者生活作息提供有力的保障,比如,《周髀算经》中介绍的测量术和内插法。测量术是一种测量土地面积和计算粮食产量的方法,而内插法则是通过已知的数值推算未知数值的方法。这些方法在古代中国的农业生产和生活中具有重要意义。自此以后历代数学家无不以《周髀算经》为参考,在此基础上不断创新和发展。
04.商业与货币
16. “安邑一釿”铜桥足布


战国魏 “安邑一釿”铜桥足布 中国国家博物馆藏
通长5.5厘米,重13.65克。战国早期魏国铸币。面文“安邑一釿”,安邑,地名,今山西夏县西北,是战国初年魏国都城所在,《史记》 魏世家及秦本纪都有所载。
“釿”是为古代金属重量名,亦是货币单位。中国战国时期东方各国多以“釿”为单位,直到秦统一六国后,统一衡制时被废除。桥足布多为三等制,此安邑桥足布就有半釿、一釿、二釿三种标度,其币值、大小、重量依次递增,在商品交易过程中,更便于流通使用,是先秦货币制度上的一大进步。
17. “齐返邦大刀”铜刀币


战国齐 “齐返邦大刀”铜刀币 中国国家博物馆藏
在荡剧变的五百余年中,齐国两次成为霸主是有其雄厚的经济基础的。为满足经济发展需求,齐国铸造、发行了多种货币,可大致分为实物货币、金属称量货币、贝币、刀币与圜钱五大类,共同构成了齐国独具特色的货币体系。
此件齐返邦大刀铜钱是战国中晚期齐国铸币,曾为清代著名收藏家陈介祺收藏,收录于李佐贤所著《古泉汇》。这种六字铭文的刀币俗称六字刀,背部刀身与刀 柄外缘一体相连,与早期齐刀刀身脊背与刀柄的外缘断于相交处有别,面文,曾有多种释读,尤其第二个字有 “通”“徙”“途”“进”“建”“造”等诸多解释,今多数学者认同释“返”,齐返邦含收复失地之意,由此推断刀币铭文记录的是燕国灭齐,平安君田单帮助齐襄王复国的历史事件,刀币也被视为目前所知最早的纪念币。此钱开纪念币之先河,丰富了我国的货币文化,对后世钱币的发展演变产生了重要影响。
18. 金代圣旨回易交钞铜钞板


金 圣旨回易交钞铜钞板 中国钱币博物馆藏
金代“圣旨回易交钞”铜钞版(残),重2356.5克,残长143毫米,宽161.5毫米,是世界上最早的钞板。这块钞版所印纸币是与白银兑换的,钞版上的面额为“银壹两”,在“银壹两”两侧用九叠篆对称书写“伪造者斩,赏银伍锭”。
金代发行纸币早于铜钱铸造,纸币与铜钱一起流通,先后发行过交钞、贞祐宝券、贞祐通宝等多种纸币。金代纸币最初以七年为界,到期换领新钞。金世宗大定二十九年取消分界,发行的纸币无限期流通,在中国纸币发展史上具有划时代的意义。在金取消纸币分界六十年之后,南宋会子才开始无限期流通。
19. 象牙算筹


春秋 象牙算筹 陕西历史博物馆藏
象牙算筹1983年出土于陕西旬阳县汉代墓葬中,一共出土28枚,长13.5厘米,直径0.4厘米,两端齐整、通体磨光、长短相等、粗细均匀。由于是象牙质地,呈乳白色,因骨质文物脱水快,容易变形和开裂,文保人员把它们封护于有机玻璃保护盒中,以保持适宜的湿度。
算筹的使用时间较早。在春秋战国时期就有文献记载,使用已相当普遍。用“算筹”进行计算称作“筹算”,这是中国古代算盘出现之前的计算工具,算式有横式和纵式两种。横着的一根代表一,竖起的一根代表五,遇“0”则空,严格遵从十进位制。中国古代十进位制的算筹记数法在世界数学史上是一个伟大的发明。
20. 子玉算盘


清 子玉算盘 江苏南通中国珠算博物馆馆藏
此子玉算盘,是49档算盘,长80厘米,宽20.2厘米,厚2.5厘米。红木质地,通体黝黑,呈现温润的光泽,而且木质坚硬沉手。算盘上刻有“子玉学历记福海春长署斋”和“子玉学历记福海春长之署”的款识。这是目前为止所发现的,唯一完整标有古代计数单位及进制方法的算盘,也是唯一在梁上设四颗算珠的算盘。
算盘是我国古代劳动人民的发明创造,它萌于商周,始于秦汉,成于唐宋,盛于元明。明代中后期取代算筹成为我国主要计算工具,对促进我国社会经济发展发挥了重要作用。
“子玉算盘”是周懋琦为解决造舰过程中一般算盘无法满足“平远号”设计中遇到的大量繁复、艰深的设计计算问题而特地设计、制造的算盘,后以周懋琦的号“子玉”命名。其梁和边框上标有49个大小不同的计数单位,以及“小数和、中数、大数”进制方法,这也是子玉款算盘的文物价值和研究价值所在。但这些计数单位和进制方法如今极少见到。
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只看该作者 沙发  发表于: 07-10
  数学与文物的结合,揭示了古代中国在科学技术、文化艺术、商业贸易等多个领域中数学的应用和发展。从精美的彩陶纹饰到实用的度量衡器,从科学的天文历法到复杂的商业货币体系,数学的影子无处不在。

  在艺术与几何方面,如彩陶盆、双人抬物纹彩陶盆、彩陶旋涡菱形几何纹双系壶等都展现了古人对几何图案的精湛运用和对美的追求。在生活与测量方面,商鞅方升、玉大带、日晷等都反映了数学在解决实际问题中的应用。在科学与技术方面,《授时历》、秦简《数》、勾股定理的发现等都标志着古代中国在数学科学上的高成就。在商业与货币方面,金代圣旨回易交钞铜钞板、象牙算筹、子玉算盘等都显示了数学在商业交易和货币管理中的重要作用。

  这些文物不仅是中国古代文明的瑰宝,也是世界文化遗产的重要组成部分,它们共同构成了数学在人类历史发展中的丰富篇章。通过对这些文物的研究,我们可以更好地理解古代中国在数学领域的发展历程和辉煌成就,对于激发人们对数学的兴趣和热爱,推动数学知识的普及和传播,具有重要意义。

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